Математическое ожидание (на англ. звучит как Expected Value) – это средняя выгода от определенного решения при условии, что оно рассматривается в теории больших чисел на длительной дистанции. Чтобы игра в покер была успешной, необходимо научится принимать ходы с плюсовым математическим ожиданием.


Математический смысл

В покере при принятии решений мы постоянно сталкиваемся со случайными величинами, так как не можем быть уверены в том, какие карты сейчас на руках у оппонента и что мы получим на следующих кругах торговли. Нам нужно рассматривать все решения с учетом теории больших чисел, гласящей, что во время большой выборки среднее значение, а также имеющее случайную величину стремится к ее математическому ожиданию.

Для вычисления математического ожидания наиболее часто применяется следующая формула:

M[X]=MoneyWon*P(won)-MoneyLoss*P(loss)

,
в этой формуле

P(won)

и

P(loss)

– это шансы на успех и проигрыш.
Сейчас рассмотрим, как эта формула применяется при броске кубика. При броске мы ставим на число $1. В случае правильного выбора получаем $8. Математическое ожидание равно:

M[X]=7*\frac{1}{6}-1*\frac{5}{6}=0.33

Если долго играть в покер на таких условиях, в среднем за каждый бросок мы получим +$0.33. Эта выгодная игра.

Сейчас рассмотрим пример игры в рулетку. В европейской рулетке можно сделать ставку на одно из 37 чисел. В случае выигрыша игрок получает сумму, в 36 превышающую начальную ставку. Предположим, мы поставили $1 на любое число. В 1/37 случаев мы выигрываем, в 36/37 проиграем. Математическое ожидание хода:

M[X]=35*\frac{1}{37}-1*\frac{36}{37}=-0.027

Если долго играть в рулетку, потери на каждый поставленный 1 доллар составят $0.027. Рулетка, как и многие другие игры в казино, считается игрой с отрицательным матожиданием. Она не выгодна, так как игрок оказывается в проигрыше.


Математическое ожидание в игре в покер

В покере математическое ожидание рассчитывается и для ставок, и для коллов. В первом варианте нужно принимать во внимание фолд-эквити оппонента, а во втором – свои шансы получения банка.
Сейчас рассмотрим распространенную ситуацию блефа в игре Техасский Холдем – продолженную ставку.

На столе ставки $1/$2. Мы на префлопе рейзили до $6 c A♠Q♦, при этом получили колл от одного из оппонентов.

Флоп: J♥ 7♣ 7♦. Размер банка – $13. Мы не собрали готовую руку, попытаемся сделать продолженную ставку размером в $7 и украсть банк. В 50% случаев оппонент сбросит руку, в 30% будет играть рейз, а в 20% сделает колл. Естественно, на рейз мы сбросим руку. Рассчитаем математическое ожидание хода:

M[X]=13*50\%-7*30\%+M[call]=4.4+M[call]

При таком ходе на флопе мы заработаем +$4.4. Помимо этого необходимо учесть математическое ожидание, которое игрок получает при колле противника. Если на терне придет A или K, скорее всего, мы будет впереди. Предположим, что при приходе необходимой карты весь банк достанется нам, а если не придет – проиграем. Вероятность получения одного из 6 аутов на терне равна 12.8%. В нашем случае M[call]:

M[call]=20\%*(13*12.8\%-7* 87.2\%) = -0.888

К этому значению прибавим полученное выше матожидание. Итоговое ожидание продолженной ставки составляет +$3.512.

Сейчас рассмотрим пример колла на терне с рукой-дро.

Наша рука K♥8♥, в банке $40. На терне борд выглядит так: A♠ 3♥ 2♥ Q♣, благодаря чему мы получаем флеш-дро. Оппонент ставит $15, слово за нами. Противник играет очень аккуратно. Если на ривере появится третья червь, он сбросит руку (будем пренебрегать предполагаемыми шансами).

Вероятность получения готового флеша на ривере равна 19.6%. Если придет флеш, мы выиграем банк, а в остальных случаях проиграем. Рассчитываем математическое ожидание колла:

M[call]=55*19.6\%-15*81.4\%=-1.43

Подобный колл приведет к потере $1.43 на большой дистанции. Лучшим решением в данной ситуации будет сброс руки.

Отметим, что при оценке матожидания ходов необходимо учитывать, что фолд в любом случае имеет нулевое математическое ожидание. Сброс карт – это более выгодное решение, чем отрицательный ход.